□ 다음 상황에 기초하여 문제에 답하시오

[문제 3] 이 비행기의 전체 좌석 수는 399석이고, 그 중에 1석이 초과판매 되는 상항이 발생하였다. A 항공사는 형평성 문제 때문에 추첨을 통해 (가) 또는 (나)에 해당되는 승객 가운데 비자발적으로 내릴 승객 한 명을 임의로 선택하고 보상금을 지급하고자 한다. (가)에 해당되는 승객은 100명이고, (나)에 해당되는 승객은 200명이다. 이 경우 A 항공사가 지급해야 할 보상금의 기댓값을 구하시오. 단 기댓값은 분수로 제시하거나, 소수점 아래 둘째 자리에서 반올림하여 제시한다. [20점, 원고지 작성법을 준수할 필요 없음]

출제의도 및 문항해설

1. 출제의도

다양한 상황에서 발생하는 확률적 사건과 이와 관련된 확률 및 기댓값의 개념은 논리적 사고 및 의사결정에서 중요한 부분이다. 본 문제는 비행기의 초과판매(오버부킹) 이슈와 비자발적으로 내릴 승객의 선택 기준이라는 상황을 이해하여 확률과 관련시키고 그것을 보상금의 기댓값 계산에 정확하게 반영할 수 있는지를 평가한다. 본 문제는 조건부확률과 이산확률변수의 기댓값에 대한 개념의 이해도를 평가하며 난이도는 중하 정도로 볼 수 있다.

2. 문항해설

어떤 비행기에서 초과판매(오버부킹)이 발생할 경우 비자발적으로 내릴 승객 한 명을 임의로 선택하고 보상금을 지급하는 문제이다. 조건부확률를 사용하여 비자발적으로 내릴 승객을 선택하는 각 기준에 해당되는 승객이 선택될 확률을 구하고, 그것을 사용하여 보상금의 기댓값을 계산하게 된다. 본 문제는 조건부확률과 이산확률변수의 기댓값에 대한 개념의 이해도를 평가하며 난이도는 중하 정도로 볼 수 있다.

3. 채점기준

[채점요소] 조건부확률의 정의와 곱셈정리를 사용하여 확률을 구하고 이산확률변수의 기댓값을 계산할 수 있는가?

[예시답안] 7번 참조

[채점준거]

ㆍ (가)에 해당하는 승객이 (나)에도 해당될 확률을 이용하여 (가)와 (나)에 동시에 해당되는 승객이 확률적으로 40명임을 잘 계산함: 3점

- 비행기에 탑승한 전체 승객이 각 경우에 몇 명씩 나누어지는 지 잘 파악함: 5점

ㆍ (가) 또는 (나)에 해당되는 승객의 수(260)와 각 경우에 해당되는 승객의 수(60, 160, 40)를 사용하여 확률을 잘 계산함: 7점

- 보상금의 기댓값을 잘 계산함: 5점

[유의사항]

ㆍ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

ㆍ 구하는 기댓값은 약분하지 않아도 감점하지 않음.

ㆍ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 추가 점수 부여 가능함.

4. 예시답안

▶ (가)에 해당하는 승객이 100명이고, (가)에 해당하는 승객이 (나)에도 해당될 확률이 이기 때문에, (가)와 (나)에 동시에 해당하는 승객은 확률적으로 40명이라고 할 수 있다.

▶ 따라서 이 비행기에 탑승한 승객 전체는 확률적으로 다음 그림과 같이 나누어질 수 있다.

▶ (가) 또는 (나)에 해당되는 승객의 수는 260명임을 알 수 있다.

▶ 보상금 150만원을 지급해야 하는 경우는, (가) 또는 (나)에 해당되는 승객에서 한 명을 뽑을 때 (가)에만 해당하는 승객이 뽑힐 경우이고 그 확률은 이다.

▶ 보상금 200만원을 지급해야 하는 경우는, (가) 또는 (나)에 해당되는 승객에서 한 명을 뽑을 때 (나)에만 해당하는 승객이 뽑힐 경우이고 그 확률은 이다.

▶ 보상금 120만원을 지급해야 하는 경우는, (가) 또는 (나)에 해당되는 승객에서 한 명을 뽑을 때 (가), (나) 모두에 해당하는 승객이 뽑힐 경우이고 그 확률은 이다.

▶ 따라서 항공사가 지급해야 할 보상금의 기댓값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

만원